[해석학] 수렴(Convergent)

수학에서 새로운 개념을 배울때는 반드시 그것의 정의부터 확실하게 하고 넘어가야한다.

먼저 우리가 수렴성을 따지려고 하는 수열이라는 것의 정의부터 알아보자

즉 쉽게 설명하자면 수열이란 자연수 N에서 실수 R로 가는 함수라는 것이다. 표기하는 방법이 다르지만 결국 수열도 함수의 일종이라는 것을 명심하자.

그렇다면 이제 본 주제인 수렴의 정의이다.

여태까지 자연수를 N으로만 표기하다가 간단한 표기를 위해서 임의의 자연수를 N으로 표기하고 자연수집합을 알레프로 표기하였다.

이 정의의 뜻은 앞의 N개를 제외한 나머지 모든항들이 수렴값x까지의 거리가 임의의 입실론보다 작아지면 수열은 x로 수렴한다고 하는것이다.

쉽게 설명하자면 임의의 입실론 만큼 가까워졌으면 그냥 x라고 퉁치자 라는 뜻이다(이 말을 그대로 받아들이면 곤란하다;)

보통 수학개념들을 보면 존재성을 보이면 뒤따라 나오는것이 유일성을 따지는 것이다. 과연 수렴값은 유일한가에 대해서 설명해주는 이론은 다음과 같다.

이 두가지로 수렴의 존재성과 유일성에 대해서 알게되었다. 이 이후에 실제로 수열이 수렴하는가 안하는가에 대해서 증명하는 것은 약간 테크닉적인 성향이 짙다. 많이 풀어보면 볼수록 이득이니 많이 풀어보도록 하자.