[해석학] Bolzano Weierstrass

여태까지 배운 이론들의 큰 줄기를 훑자면 제일 먼저 등장하는 것은 Completeness of R이다. 

현재까지 증명해온 이론들은 모두 이 정의를 기반으로 하여 증명이 되었다. 

그 다음이 저번에 다룬 bounded & monotone sequence는 수렴한다는 것이다. 

물론 이를 정의 하기 위하여 수렴한다는 것을 배웠지만 수렴정의는 이를 위한 정의라고 생각해도 무방하다. 

세 번째 단계는 이번 게시물에서 다룰 Bolzano Weierstrass이다.

왜 monotone subsequence가 존재하는 것만 보이면 되냐하면 앞서서 bounded & monotone sequence이면 이 monotone sequence는 수렴한다는 것을 보였기 때문이다. 

수열이 bounded이므로 subsequence는 당연히 bounded하다. 따라서 monotone인 것만 보이면 이렇게 만들어진 subsequence는 수렴하게 될 것이다.

이 정의에서 중요한 점은 원래의 수열이 수렴하든 안하든 bounded만 되어있으면 그 수열에서 수렴하는 부분수열을 추출해낼 수 있다는 것이다.