수학 이론 검색 결과, 15
수학 이론/순수수학
[해석학] Bolzano Weierstrass
여태까지 배운 이론들의 큰 줄기를 훑자면 제일 먼저 등장하는 것은 Completeness of R이다. 현재까지 증명해온 이론들은 모두 이 정의를 기반으로 하여 증명이 되었다. 그 다음이 저번에 다룬 bounded & monotone sequence는 수렴한다는 것이다. 물론 이를 정의 하기 위하여 수렴한다는 것을 배웠지만 수렴정의는 이를 위한 정의라고 생각해도 무방하다. 세 번째 단계는 이번 게시물에서 다룰 Bolzano Weierstrass이다. 왜 monotone subsequence가 존재하는 것만 보이면 되냐하면 앞서서 bounded & monotone sequence이면 이 monotone sequence는 수렴한다는 것을 보였기 때문이다. 수열이 bounded이므로 subsequence는 당..
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[해석학] Subsequence
먼저 부분수열의 정의와 발산을 정의하고 시작하자. 부정을 하게되면 모든은 어떤으로 변하고 어떤은 모든으로 변하고 부등호의 방향도 바뀐다.두 번째 이론은 수열이 수렴한다가 그 수열의 모든 부분수열이 수렴한다는 의미와 같다는 것을 보여준다. 그러므로 부분수열들 중에 하나라도 수렴하지 않는 다면 그 수열은 수렴하지 않는다는 말이 된다. 즉 반례를 하나라도 찾으면 된다.첫 번째 이론은 이를 설명해준다. 두번째 이론은 어떤 수열이 수렴하면 그 수열의 모든 부분수열이 수렴한다는 뜻이다.증명은 간단하지만 단 하나의 발산하는 부분수열을 찾는다면 그 수열이 발산한다는 정의는 매우 유용하므로 꼭 기억해두자.
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[해석학] Monotone Sequence
앞서서 어떤 수열에 수렴한다는 것의 존재성과 유일성을 보았고 수열이 수렴하면 그 수열은 bounded되어있다 것을 배웠다.다음 이론은 bounded되어 있다는 것과 monotone sequence가 수렴한다는 것과 동치라는 것을 보여준다. 즉 monotone 수열일때는 앞서 나온 이론의 역도 성립한다는 의미이다. 충분조건은 이미 앞선 이론으로 증명이 된 것이므로 따로 증명을 하지는 않겠다. 이 챕터에서의 증명의 테크닉이 중요하다(물론 이론은 1순위) 테크닉을 익히기 위해서 간단한 예제를 하나 풀어보자.
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[해석학] 수렴(Convergent)
이전 게시물에서 수렴의 기본정의들을 배워보았다면 이번 게시물에선 그 기본정의에서 증명되는 이론들에 대해서 다뤄볼 것이다.수렴에 관해 정의하기전에 먼저 bounded에 관해 정의해보자 위의 4가지 성질은 증명하기 쉬우므로 따로 증명을 적진 않겠다. 알고싶은 사람은 직접해보길 바란다. 이 이외에도 수렴성은 절대값, 제곱근에 의해서도 유지가 된다는 Theorem이 있고 전항과 다음항의 비가 1보다 작으면 수열은 0으로 수렴한다는 Theorem도 있다. 이에 대해서는 스스로 해보자.
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[해석학] 수렴(Convergent)
수학에서 새로운 개념을 배울때는 반드시 그것의 정의부터 확실하게 하고 넘어가야한다.먼저 우리가 수렴성을 따지려고 하는 수열이라는 것의 정의부터 알아보자 즉 쉽게 설명하자면 수열이란 자연수 N에서 실수 R로 가는 함수라는 것이다. 표기하는 방법이 다르지만 결국 수열도 함수의 일종이라는 것을 명심하자. 그렇다면 이제 본 주제인 수렴의 정의이다. 여태까지 자연수를 N으로만 표기하다가 간단한 표기를 위해서 임의의 자연수를 N으로 표기하고 자연수집합을 알레프로 표기하였다.이 정의의 뜻은 앞의 N개를 제외한 나머지 모든항들이 수렴값x까지의 거리가 임의의 입실론보다 작아지면 수열은 x로 수렴한다고 하는것이다.쉽게 설명하자면 임의의 입실론 만큼 가까워졌으면 그냥 x라고 퉁치자 라는 뜻이다(이 말을 그대로 받아들이면 곤..
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[해석학] interval
Interval이란 말그대로 구간이라는 뜻으로 고등학교때 폐구간 개구간이라고 많이들 불렀다.그렇다면 이 포스팅에서는 interval은 어떻게 정의가 되고 어떤 특성들을 갖고 있는지 다뤄보겠다. 이 증명에서 실수의 완전성 공리가 키 포인트이다.Nonempty set에 Bounded above이므로 구간 내의 실수를 하나 찾을 수 있다.아래에 있는 간단한 example을 통해 어떻게 문제에 응용하는가를 익혀보자 interval의 관련된 증명은 inf,sup를 자주 이용하므로 연계해서 잘 알아두자